【初中生数学建模能力的培养】数学建模对自身能力培养的作用

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【初中生数学建模能力的培养】数学建模对自身能力培养的作用

2.什么叫数学建模?

　　数学建模的定义　　把遇到的实际问题进行抽象和假设之后，运用数学工具得到一个数学结构（数学模型），这个过程称为数学建模。数学建模和应用题有些类似，但又有着显著的不同。首先，数学建模所涉及的领域更广泛，包括物理、化学、天文、地理等各个领域；其次，建模题目更开放灵活，有时只给出问题，需要哪些数据，如何获得数据，则要建模者自己解决；第三，建模题目答案不 ，通常是根据模型的可行性、全面性来评判优劣。可以把应用题看作简化的数学建模。数学建模是对数学知识更全面、更灵活、更深层次的应用。

数学建模的重要性

促进理论与实践相结合，培养学生应用数学的意识建模过程是理论与实践的有机结合。强化数学建模教学，不仅能使学生更好地掌握数学基础知识，也是为了增强应用数学的意识，提高分析问题和解决问题的能力。

数学建模的教学可以培养学生多方面的能力1）翻译能力，能将实际问题用数学语言表达出来，建立数学模型；2）运用数学能力；3）交流合作能力；4）创造能力。

发挥了学生的参与意识，体现了学生的主体性根据现代的教育理念，知识不能简单地传授给学生，而应由学生依据现有的知识经验主动地加以探索。所以数学建模的教学，符合现代教学理念，必将有助于教学质量的提高。

初中数学建模能力的培养

建模能力的培养和形成是一个渐进的过程，必须依靠教师在日常教学中不断渗透、引导，使学生在练习和积累中不断进步。笔者认为教师在日常教学中应注意以下方面。

依“纲”靠“本”，抓好“三基”“纲”是教学大纲，“本”是课本，“三基”是基础知识，基本技能和基本思想方法。教师首先要依据教学大纲和课本，注重学生“三基”的系统教学，要正确认识纯数学和应用数学之间的关系。没有广泛而扎实的“三基”，数学应用意识不会自发的形成，培养数学建模能力只能是一句空话。

注重几何与代数之间的联系初中数学分为代数与几何两大部分，二者既有区别又有联系。一些代数问题构建几何模型能够更简洁形象的解决，反之亦然。教学中，教师应有意识大地进行这方面的训练。

例两城市A和B之间的距离为210公里。上午8点30分有一辆轿车以平均速度60公里／小时从A出发驶向B，同时另有一辆公共汽车以平均速度45公里／小时从B出发驶向A，问当轿车与公共汽车相遇时，公共汽车行驶了多少路程？

分析 本题可以用二元一次方程组求解，

但也可以开放思维用下面的模型求解，如图1所示。

构建模型公共汽车与轿车所行驶的距离

之比等于两者的速度之比，即60:45＝4:3，因此可将A到B的整个路程分7个单位，4个单位＋3个单位＝7个单位→210公里，3个单位→210公里÷7×3＝90公里。所以当轿车与公共汽车相遇时公共汽车行驶了90公里。

例在△ABC中，AB=AC，∠BAC和∠ACB的平分线相交于D，∠ADC=130°，那么∠CAB的大小是多少度？

分析 这是一道几何题，如图2，但用方程模型解决思路更清晰。

建模 设∠CAB=x，所以∠DAC=又因为AB=AC，所以∠B=∠BCA=（180°-x）；

又因为DC是∠ACB的平分线，所以∠DCA=。

根据三角形的内角和等于180°可得：+ +130°=180°。

所以x=20°，即∠CAB=20°。

在教学中，要鼓励学生放开思维禁锢，突破几何与代数之间的壁垒。

复习课注意知识的综合应用

由于学习知识已较为系统完整，复习课中可考虑适当引入综合运用知识的有关问题，适当提高学生建模能力，强化学生应用数学的意识。

例在在复习三角形的所有知识后，出题目：有一池塘（图3），要测量池塘的两端AB的距离，直接测量有障碍，能有什么方法测出AB的长度？

建模1 构造直角三角形，运用勾股定理解决问题，求出AB。

建模2 构造等腰三角形或等边三角形，求出AB。

建模3 构造三角形及其中位线，利用中位线的性质求出AB。

建模4 构造两个三角形，利用全等或相似性质来求出AB。

在解决问题时，应鼓励学生大胆提出自己的建模方法，然后再补充。当学生自己找到建模方法后，就会获得成功的满足，产生愉快的学习情绪。

注意引导学生从数学角度分析有关现象

在数学教学中，应注意引导学生自觉地应用数学思维来分析社会实践中发生的有关现象，会将问题的本质进行概括、归纳，抽象为数学语言，并用相关数学知识来分析解决问题。

例 在 比赛场上，甲、乙两名队员互相配合向对方球门MN进攻，当甲带球冲向A点时，乙已跟随冲到B点，此时甲是自己直接射门好，还是迅速将球回传给乙让乙射门好？

分析 从数学的角度考虑，如果两个点到球门距离相差不大，要确定较好的射门位置，关键是看这两个点各自对球门MN的张角大小，当张角越大越容易进球。

建模 在△AMN、△BMN中，比较∠MBN与∠NAM这两个张角的大小，如图4所示。

适当开设数 用专题讲座，培养建模能力

初中数学的建模，代数可分为方程模型、不等式模型、函数模型；几何可分为三角形模型、四边形模型、圆与其他几何图形组合模型。可以开设一些讲座，系统地训练学生对这些模型的应用，提高学生的建模能力。

总的来说，数学建模能力的培养，实际上是对学生综合运用知识解决问题能力的培养。从对实际问题的理解，知识的概括、抽象，建立模型、求解直至问题的解决，每一步都与能力密切相关。能力并非单指纯数学能力，需要丰富的课外知识和较强的理解力。在建模能力的培养过程中，学生可以逐步体验到数学与其他学科的联系是十分密切的，数学能够帮助解决其他学科的问题，真正体现数学作为基础学科的重要性。

（作者单位：河北省邢台市第十中学）

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什么叫数学建模?

模型思想是《课程标准（2011年版）》新增的核心概念。而且它也是10个核心概念中 一个以“思想”指称的概念。模型思想的建立是学生体会和理解数学与外部 联系的基本途径。

所谓数学模型，就是根据特定的研究目的，采用形式化的数学语言，去抽象地，概括地表征所研究对象的主要特征、关系所形成的一种数学结构。

数学建模就是通过建立模型的方法来求得问题解决的数学活动过程，这一过程的步骤可以用下图来体现：

如果将这一过程进一步简化，就可以成为这样三个环节：首先是从现实生活或具体情境中抽象出数学问题；然后用数学符号建立方程、不等式、函数等表示数学问题中的数量关系和变化规律；最后通过模型去求出结果，并用此结果去解释讨论它在现实问题中的意义。

比如在教学分数应用题的过程中，我们就是通过一些具体问题，引导学生通过观察，比较和分析这些题目间的联系，从而抽象出“单位1?分率=对应的数量”这一规律，然后再运用这一规律去解决更多相关的问题。

显然，数学建模过程可以使学生在多方面得到培养，而不只是知识、技能，使学生更有思想、方法，也有一些经验积累，其情感态度也会得到培养。

那么，在实际教学中，该怎样培养模型思想呢？

1.模型思想需要教师在教学中逐步渗透和引导学生不断感悟。

学生的学习过程是一个从简单到复杂，从具体到抽象螺旋上升的过程，因此就要求我们在教学中要注意根据学生的年龄特征和不同学段的要求，逐步渗透模型思想，使学生逐步积累经验，掌握建模方法，逐步形成运用模型去进行数学思维的习惯。

相对于第二学段来说，就可以通过一些具体问题，引导学生通过观、分析抽象出更为一般的模式表达，如用字母表示有关的运算律和运算性质，总结出路程、速度、时间，单价、数量、总价的关系式。

以数的认识为例， 学段，可以引导学生经历从现实情境中抽象出数，借助计数器，点子图，方格图和立方体等直观模型，使学生认识数，学会用适当的符号来表示这些现实情境中的简单现象。

第二学段，数的认识扩展到了亿以上的数，分数，小数以及负数，结合学生的年龄特点及认知规律，此时就可以通过一些具体问题，引导学生通过观察，分析，抽象，概括，选择，判断等活动，抽象出不同的数的模型。在这个过程中，使学生逐步积累经验，掌握建模方法，逐步形成运用模型去进行数学思维的习惯。

2.使学生经历“问题情境--建立模型--求解验证”的数学活动过程。

“问题情境--建立模型--求解验证”的数学活动过程完全可以结合相关课程内容有机进行。比如，关于正比例的教学，之前是把精力更多地放在了概念的理解上，也就是从概念到概念，强调的是正比例的定义，判断的方法等比较“纯粹”的知识、技能，而现在，我们可以思考让学生从丰富多样的现实具体问题中，抽象出“正比例”这个模型，然后通过正反例子的辨析，明晰正比例意义的核心，进而去寻找生活中更多相关的实例，并解决具体的问题。

再比如关于分数的量、率区分的问题，一直以来都是学生学习过程中的难点，易混点，之前教学中，总是会教给学生说，括号后面带单位了，就用带单位的数除以份数，没有带单位了就用单位“1”除以份数，可以说是死记硬背式的告知，没有任何思维含量。但去年对于这个问题，我尝试渗透模型思想，让学生从实际问题情境中抽象出数学问题，然后分析比较两个问题的区别和联系，在变与不变中感受数学问题的本质，通过举例验证，发现了其中的规律，抽象出此类问题的模型，然后又将此模型拓展到生活中的其他问题情境中，以解决更多的问题，使学生在这个过程中发现，虽然问题情境不同，但解题的方法都是一样的，从而建立了这一问题的模型。

这样做，使学生在活动过程中，理解掌握有关知识，技能，积累数学活动经验，感悟模型思想的本质，从而更有利于学生去发现、提出、分析、解决问题，培养创新意识。

qw(最多可选2个答案)

对回答者的感言：

(选填项,40字以内)

学模型是对于现实 的一个特定对象，一个特定目的，根据特有的内在规律，做出一些必要的假设，运用适当的数学工具，得到一个数学结构。

简单地说：就是系统的某种特征的本质的数学表达式（或是用数学术语对部分现实 的描述），即用数学式子（如函数、图形、代数方程、微分方程、积分方程、差分方程等）来描述（表述、模拟）所研究的客观对象或系统在某一方面的存在规律。

数学建模

数学建模是利用数学方法解决实际问题的一种实践。即通过抽象、简化、假设、引进变量等处理过程后，将实际问题用数学方式表达，建立起数学模型，然后运用先进的数学方法及计算机技术进行求解。

数学建模将各种知识综合应用于解决实际问题中，是培养和提高学生应用所学知识分析问题、解决问题的能力的必备手段之一。

数学建模的一般方法和步骤

建立数学模型的方法和步骤并没有一定的模式，但一个理想的模型应能反映系统的全部重要特征：模型的可靠性和模型的使用性。建模的一般方法：

机理分析：根据对现实对象特性的认识，分析其因果关系，找出反映内部机理的规律，所建立的模型常有明确的物理或现实意义。

测试分析方法：将研究对象视为一个“黑箱”系统，内部机理无法直接寻求，通过测量系统的输入输出数据，并以此为基础运用统计分析方法，按照事先确定的准则在某一类模型中选出一个数据拟合得最好的模型。 测试分析方法也叫做系统辩识。

将这两种方法结合起来使用，即用机理分析方法建立模型的结构，用系统测试方法来确定模型的参数，也是常用的建模方法。

在实际过程中用那一种方法建模主要是根据我们对研究对象的了解程度和建模目的来决定。机理分析法建模的具体步骤大致如下：

1、 实际问题通过抽象、简化、假设，确定变量、参数；

2、 建立数学模型并数学、数值地求解、确定参数；

3、 用实际问题的实测数据等来检验该数学模型；

4、 符合实际，交付使用，从而可产生经济、社会效益；不符合实际，重新建模。

数学模型的分类：

1、 按研究方法和对象的数学特征分：初等模型、几何模型、优化模型、微分方程模型、图论模型、逻辑模型、稳定性模型、统计模型等。

2、 按研究对象的实际领域（或所属学科）分：人口模型、交通模型、环境模型、生态模型、生理模型、城镇规划模型、水资源模型、污染模型、经济模型、社会模型等。

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